Rainer Böhm erhielt ab dem Alter von vier Jahren Klavierunterricht. Als Jugendlicher gründet er ein eigenes Jazztrio. Von 1997 bis 2001 studierte er Jazz und Popularmusik an der Hochschule für Musik und Darstellende Kunst Mannheim. Sein Studium der Fächer Jazz-Klavier bei Joerg Reiter und Klassisches Klavier bei Andrea Breichler schloss er mit Bestnoten ab; zwischen 1998 und 2000 gehörte er dem Bundesjazzorchester an. Von 2007 bis 2009 absolvierte er ein Masterstudium am Queens College in New York City mit einem Stipendium des DAAD.
In New York gründete Böhm ein Trio mit Jeff Hirshfield und dem schottischen Bassisten Aidan O’Donnell, das 2009 das Album Red Line veröffentlichte und 2010 auch in Deutschland auf Tournee ging. Mit Ben Kraef hat er 2011 das Album Berlin – New York vorgelegt. Mit seinem Sextett Groove spielte er 2021 in der Radio Edition des JazzFest Berlin. Daneben spielt er seit langen Jahren mit der Mannheimer Gruppe L 14, 16. Weiterhin war er mit zahlreichen namhaften Musikerinnen und Musikern in den letzten Jahren auf Gastspielreise und hat es laut Jazz Podium „zu einer außergewöhnlichen Präsenz in der Szene gebracht“.
Als Professor für Jazz Piano und Ensembleleitung unterrichtet er an der Hochschule für Musik in Nürnberg sowie an der Hochschule für Musik und Darstellende Kunst in Mannheim.
Böhm gewann mit 18 Jahren den ersten Preis beim Jazzwettbewerb in Sigmaringen mit seinem Trio. Zwei Jahre darauf folgte der erste Preis beim Jazzwettbewerb seiner Geburtsstadt. Auch als Solist konnte er zahlreiche Preise bei Wettbewerben erspielen, unter anderem 2007 den ersten Preis beim Internationalen Piano Solo Wettbewerb in Freiburg. 2010 wurde er mit dem Jazzpreis Baden-Württemberg ausgezeichnet als „ein hoch virtuoser und kreativer Pianist, der als überragender Solist und sensibler Begleiter in all seinen Formationen auch mit amerikanischen und europäischen Musikern überzeugen konnte“ (Bernd Konrad zur Entscheidung der Jury zur Verleihung des Jazzpreis Baden-Württemberg 2010).
Für die mit L 14, 16 eingespielte CD erhielten die Musiker 2003 den Vierteljahrespreis der deutschen Schallplattenkritik; das Album wurde auch von der Fachzeitschrift Audio im Juni 2003 als „CD des Monats“ herausgestellt. 2016 erhielt er den Solistenpreis des Neuen Deutschen Jazzpreises und den 1. Preis als Mitglied des Bastian Jütte Quartetts.
